一般情况下，如果公司合法辞退了员工，且给予了合理的补偿金，那么员工不需要再向公司支付赔偿金。因为补偿金已经包含了员工在解除劳动合同后可能产生的各种损失，如工资、福利、年假等，也包括了公司在解除劳动合同后可能需要承担的各种赔偿责任。

但是，在一些特殊情况下，员工可能需要向公司支付赔偿金。例如，如果员工在工作中存在过错或者违反了公司规定，导致公司遭受了经济损失，那么员工可能需要赔偿公司的经济损失。此外，如果员工在解除劳动合同后违反了保密协议或者竞业禁止协议，泄露了公司的商业机密或者与公司竞争对手进行了接触，那么员工需要承担相应的法律责任，包括赔偿公司的经济损失。

总之，在公司辞退员工后，员工是否需要向公司支付赔偿金，需要根据具体情况进行判断。如果您有具体的问题，建议咨询专业的律师或法律顾问。